నేను క్షితిజసమాంతర అసింప్టోట్‌లను (HAs) గుర్తుంచుకోవడానికి ఇష్టపడే విధానం: BOBO BOTN EATS DC (దిగువలో పెద్దది, అసింప్‌టోట్ 0, పైన పెద్దది, లక్షణం లేదు, ఘాతాంకాలు ఒకేలా ఉంటాయి, డివైడ్ కోఎఫీషియంట్స్).
గణితంలో బోబో అంటే ఏమిటి?
న్యూమరేటర్ యొక్క లీడింగ్ ఎక్స్‌పోనెంట్ మరియు హారం యొక్క లీడింగ్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌ను పోల్చండి. అప్పుడు BOBO BOTN DCని తింటుంది. BOBO అంటే ఏమిటి? సమానంగా, సంఖ్యను సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయండి మరియు x కోసం పరిష్కరించండి.
మీరు క్షితిజ సమాంతర లక్షణాన్ని ఎలా కనుగొంటారు?
క్షితిజ సమాంతర లక్షణాలను కనుగొనడానికి:
- హారం యొక్క డిగ్రీ (అతిపెద్ద ఘాతాంకం) న్యూమరేటర్ డిగ్రీ కంటే పెద్దదైతే, క్షితిజ సమాంతర లక్షణం x-అక్షం (y = 0).
- లవం యొక్క డిగ్రీ హారం కంటే పెద్దగా ఉంటే, క్షితిజ సమాంతర లక్షణం ఉండదు.
నిలువు అసిప్టోట్ అంటే ఏమిటి?
నిలువు అసింప్టోట్‌లు నిలువు వరుసలు, ఇవి హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క హారం యొక్క సున్నాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. (అవి సంవర్గమానాల వంటి ఇతర సందర్భాలలో కూడా ఉత్పన్నమవుతాయి, కానీ మీరు హేతుబద్ధమైన సందర్భంలో దాదాపు ఖచ్చితంగా అసంకల్పితాలను ఎదుర్కొంటారు.)
నిలువు అసిప్టోట్‌లు లేనట్లయితే మీకు ఎలా తెలుస్తుంది?
హారం సున్నాలుగా మారుతున్నప్పుడు హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క నిలువు లక్షణం ఏర్పడుతుంది. ఏదైనా బహుపది y=x2+x+1 వంటి ఫంక్షన్‌కు నిలువుగా ఉండే లక్షణం లేకుంటే, హారం ఎప్పుడూ సున్నాలుగా ఉండదు. అయినప్పటికీ x≠a. అయితే, xని a పై నిర్వచించినట్లయితే, తొలగించగల నిలిపివేత ఉండదు.
మీరు ఫంక్షన్ యొక్క రంధ్రం ఎలా కనుగొంటారు?
హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్‌ను అత్యల్ప పదాలలో పెట్టడానికి ముందు, న్యూమరేటర్ మరియు హారంను కారకం చేయండి. న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో ఒకే కారకం ఉంటే, రంధ్రం ఉంటుంది. ఈ కారకాన్ని సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేసి పరిష్కరించండి. పరిష్కారం రంధ్రం యొక్క x-విలువ.
మీరు అంతిమ ప్రవర్తనను ఎలా నిర్ణయిస్తారు?
బహుపది ఫంక్షన్ యొక్క ముగింపు ప్రవర్తన f(x) యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ప్రవర్తన, x అనేది సానుకూల అనంతం లేదా ప్రతికూల అనంతాన్ని చేరుకుంటుంది. బహుపది ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీ మరియు లీడింగ్ కోఎఫీషియంట్ గ్రాఫ్ యొక్క ముగింపు ప్రవర్తనను నిర్ణయిస్తాయి.
మీరు రంధ్రం యొక్క y విలువను ఎలా కనుగొంటారు?
సాధ్యమయ్యే x-ఇంటర్‌సెప్ట్‌లు (-1,0) మరియు (3,0) పాయింట్ల వద్ద ఉంటాయి. రంధ్రం యొక్క y-కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనడానికి, y = 2 పొందడానికి ఈ తగ్గిన సమీకరణంలో x = -1ని ప్లగ్ చేయండి. ఆ విధంగా రంధ్రం బిందువు (-1,2) వద్ద ఉంటుంది. న్యూమరేటర్ యొక్క డిగ్రీ హారం యొక్క డిగ్రీకి సమానం కాబట్టి, క్షితిజ సమాంతర లక్షణం ఉంది.
రంధ్రం వద్ద పరిమితి ఎంత?
రంధ్రం వద్ద పరిమితి: రంధ్రం వద్ద ఉన్న పరిమితి రంధ్రం యొక్క ఎత్తు. నిర్వచించబడలేదు, ఫలితం ఫంక్షన్‌లో రంధ్రం అవుతుంది. ఫంక్షన్ రంధ్రాలు తరచుగా సున్నాను సున్నాతో విభజించడం అసంభవం నుండి వస్తాయి.
రంధ్రం లేకుంటే పరిమితి ఉంటుందా?
x సమీపించే విలువ వద్ద గ్రాఫ్‌లో రంధ్రం ఉంటే, ఫంక్షన్ యొక్క వేరొక విలువకు వేరే పాయింట్ లేకుండా, పరిమితి ఇప్పటికీ ఉనికిలో ఉంటుంది. గ్రాఫ్ రెండు వేర్వేరు దిశల నుండి రెండు వేర్వేరు సంఖ్యలను సమీపిస్తుంటే, x ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యకు చేరుకుంటుంది కాబట్టి పరిమితి ఉండదు.
పరిమితి లేనట్లయితే మీరు ఎలా చెప్పగలరు?
పరిమితులు సాధారణంగా నాలుగు కారణాలలో ఒకదాని కారణంగా ఉనికిలో విఫలమవుతాయి:
- ఏకపక్ష పరిమితులు సమానంగా ఉండవు.
- ఫంక్షన్ పరిమిత విలువను చేరుకోదు (పరిమితి యొక్క ప్రాథమిక నిర్వచనం చూడండి).
- ఫంక్షన్ నిర్దిష్ట విలువను చేరుకోదు (డోలనం).
- x - విలువ క్లోజ్డ్ ఇంటర్వెల్ యొక్క ముగింపు బిందువుకు చేరుకుంటుంది.
రంధ్రం ఉంటే అది నిరంతరంగా ఉందా?
ఈ రకమైన నిలిపివేతను తొలగించగల నిలిపివేత అంటారు. ఈ సందర్భంలో ఉన్నట్లుగా గ్రాఫ్‌లో రంధ్రం ఉన్న వాటిని తొలగించగల నిలిపివేతలు అంటారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, దాని గ్రాఫ్‌లో రంధ్రాలు లేదా విరామాలు లేనట్లయితే, ఒక ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుంది. అనేక ఫంక్షన్ల కోసం ఇది ఎక్కడ నిరంతరంగా ఉండదని గుర్తించడం సులభం.
ఓపెన్ సర్కిల్ వద్ద పరిమితి ఉందా?
ఒక ఓపెన్ సర్కిల్ (తొలగించగల డిస్‌కంటిన్యూటీ అని కూడా పిలుస్తారు) ఒక ఫంక్షన్‌లోని రంధ్రాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది f(x) విలువను కలిగి లేని x యొక్క ఒక నిర్దిష్ట విలువ. కాబట్టి, ఒక ఫంక్షన్ సానుకూల మరియు ప్రతికూల వైపు నుండి ఒకే విలువను చేరుకున్నట్లయితే మరియు ఆ విలువ వద్ద ఫంక్షన్‌లో రంధ్రం ఉంటే, పరిమితి ఇప్పటికీ ఉంటుంది.
రంధ్రం నిర్వచించబడలేదా?
గ్రాఫ్‌లోని రంధ్రం బోలు వృత్తంలా కనిపిస్తుంది. ఫంక్షన్ పాయింట్‌కి చేరువవుతుందనే వాస్తవాన్ని ఇది సూచిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి ఆ ఖచ్చితమైన x విలువపై నిర్వచించబడలేదు. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, f(−12) నిర్వచించబడలేదు ఎందుకంటే ఇది ఫంక్షన్ యొక్క హేతుబద్ధమైన భాగం యొక్క హారంను సున్నా చేస్తుంది, ఇది మొత్తం ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించకుండా చేస్తుంది.
మూలల్లో పరిమితులు ఉన్నాయా?
పరిమితి అనేది x (ఇండిపెండెంట్ వేరియబుల్) ఒక బిందువును చేరుకున్నప్పుడు ఫంక్షన్ చేరుకునే విలువ. సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది మరియు 0 (కుడి వైపు నుండి చేరుతుంది), f(x) కూడా 0కి చేరుకోవడం మనం చూస్తాము. అది సున్నా! మూల పాయింట్ల వద్ద ఉన్నాయి.
ఒక రంధ్రం వద్ద ఉత్పన్నం ఉంటుందా?
ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఆ బిందువు వద్ద టాంజెంట్ లైన్ యొక్క వాలు. కాబట్టి, మీరు టాంజెంట్ లైన్‌ను గీయలేకపోతే, ఉత్పన్నం లేదు - ఇది దిగువ 1 మరియు 2 సందర్భాలలో జరుగుతుంది. తొలగించగల నిలిపివేత - ఇది రంధ్రానికి ఫాన్సీ పదం - పై చిత్రంలో r మరియు s ఫంక్షన్‌లలోని రంధ్రాల వలె.
మూలలో ఉత్పన్నం ఎందుకు లేదు?
అదే విధంగా, మేము గ్రాఫ్‌లో ఒక మూలలో లేదా కస్ప్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనలేము, ఎందుకంటే వాలు అక్కడ నిర్వచించబడలేదు, ఎందుకంటే పాయింట్ యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న వాలు కుడి వైపున ఉన్న వాలు కంటే భిన్నంగా ఉంటుంది. పాయింట్ యొక్క. అందువల్ల, ఒక మూలలో కూడా ఫంక్షన్ భేదం కాదు.
ఉత్పన్నం ఉందో లేదో మీకు ఎలా తెలుస్తుంది?
నిర్వచనం 2.2 ప్రకారం. 1, పరిమితి limx→af(x)−f(a)x−a lim x → a f ( x ) − f (a ) x − a ఉనికిలో ఉన్నప్పుడు డెరివేటివ్ f′(a) ఖచ్చితంగా ఉంటుంది. ఆ పరిమితి x=a వద్ద y=f(x) y = f (x ) వక్రరేఖకు టాంజెంట్ లైన్ యొక్క వాలు కూడా.
ఉత్పన్నాలు సున్నా కావచ్చా?
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం, f(x) ఒక పాయింట్ వద్ద సున్నా, p అంటే p ఒక స్థిర బిందువు. అంటే, "కదిలే" కాదు (మార్పు రేటు 0). ఉదాహరణకు, f(x)=x2 కనిష్టాన్ని x=0 వద్ద కలిగి ఉంటుంది, f(x)=-x2 గరిష్టంగా x=0 వద్ద ఉంటుంది మరియు f(x)=x3కి ఏదీ లేదు. ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న ఉత్పన్నాన్ని చూడటం ద్వారా మీరు దీన్ని చూడవచ్చు.
క్లిష్టమైన పాయింట్ ఏమిటి?
క్రిటికల్ పాయింట్ అనేది గణితశాస్త్రంలోని అనేక శాఖలలో ఉపయోగించే విస్తృత పదం. నిజమైన వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్‌లతో వ్యవహరించేటప్పుడు, ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌లోని ఒక క్రిటికల్ పాయింట్, ఇక్కడ ఫంక్షన్ డిఫరెన్సిబుల్ కాదు లేదా డెరివేటివ్ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది.
క్లిష్టమైన పాయింట్ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా ఉంటే మీకు ఎలా తెలుస్తుంది?
ఈ కీలక బిందువులలో ప్రతి ఒక్కటి గరిష్టంగా, కనిష్టంగా లేదా ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ యొక్క స్థానమా అని నిర్ణయించండి. ప్రతి విలువ కోసం, x-విలువను ఆ x-విలువ కంటే కొంచెం చిన్నదిగా మరియు కొంచెం పెద్దదిగా పరీక్షించండి. రెండూ f(x) కంటే చిన్నవి అయితే, అది గరిష్టం. రెండూ f(x) కంటే పెద్దవి అయితే, అది కనిష్టంగా ఉంటుంది.
సూపర్క్రిటికల్ అంటే ఏమిటి?
"సూపర్ క్రిటికల్" అంటే ఏమిటి? ఏదైనా పదార్ధం ఒక క్లిష్టమైన పాయింట్ ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది, ఇది ఒత్తిడి మరియు ఉష్ణోగ్రత యొక్క నిర్దిష్ట పరిస్థితులలో పొందబడుతుంది. ఒక సమ్మేళనం ఒత్తిడికి మరియు దాని కీలక బిందువు కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రతకు గురైనప్పుడు, ద్రవం "సూపర్క్రిటికల్" అని చెప్పబడుతుంది.
ఒక క్లిష్టమైన పాయింట్ వద్ద ఏమి జరుగుతుంది?
ఉష్ణోగ్రత పెరిగినప్పుడు, ఆవిరి పీడనం పెరుగుతుంది మరియు గ్యాస్ దశ దట్టంగా మారుతుంది. ద్రవం విస్తరిస్తుంది మరియు తక్కువ దట్టంగా మారుతుంది, క్లిష్టమైన పాయింట్ వద్ద, ద్రవ మరియు ఆవిరి యొక్క సాంద్రతలు సమానంగా మారుతాయి, రెండు దశల మధ్య సరిహద్దును తొలగిస్తుంది.
క్లిష్టమైన పాయింట్ ఎందుకు ముఖ్యమైనది?
ఈ వాస్తవం తరచుగా సమ్మేళనాలను గుర్తించడంలో లేదా సమస్య పరిష్కారంలో సహాయపడుతుంది. క్రిటికల్ పాయింట్ అనేది ఆవిరి/ద్రవ సమతౌల్యంలో స్వచ్ఛమైన పదార్థం ఉండే అత్యధిక ఉష్ణోగ్రత మరియు పీడనం. క్లిష్టమైన ఉష్ణోగ్రత కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద, పదార్ధం ఎలాంటి పీడనం ఉన్నా ద్రవంగా ఉండదు.
TS రేఖాచిత్రంలో కీలకమైన అంశం ఏమిటి?
థర్మోడైనమిక్స్‌లో, క్రిటికల్ పాయింట్ (లేదా క్లిష్టమైన స్థితి) అనేది దశ సమతౌల్య వక్రరేఖ యొక్క ముగింపు బిందువు. అత్యంత ప్రముఖమైన ఉదాహరణ ద్రవ-ఆవిరి క్రిటికల్ పాయింట్, పీడనం-ఉష్ణోగ్రత వక్రరేఖ యొక్క ముగింపు బిందువు, ఇది ద్రవం మరియు దాని ఆవిరి కలిసి ఉండే పరిస్థితులను సూచిస్తుంది.
మీరు క్లిష్టమైన అంశాలను ఎలా వర్గీకరిస్తారు?
క్లిష్టమైన పాయింట్లను వర్గీకరించడం
- క్లిష్టమైన పాయింట్లు ∇f=0 లేదా ∇f ఉనికిలో లేని ప్రదేశాలు.
- క్లిష్టమైన పాయింట్లు అంటే z=f(x,y)కి టాంజెంట్ ప్లేన్ క్షితిజ సమాంతరంగా లేదా ఉనికిలో లేదు.
- అన్ని లోకల్ ఎక్స్‌ట్రీమా కీలక పాయింట్లు.
- అన్ని క్లిష్టమైన పాయింట్లు లోకల్ ఎక్స్‌ట్రీమా కాదు. తరచుగా, అవి జీను పాయింట్లు.
రెండు వేరియబుల్స్ ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని మీరు ఎలా కనుగొంటారు?
ఒక వేరియబుల్, f(x) యొక్క ఫంక్షన్ కోసం, మేము భేదం ద్వారా స్థానిక గరిష్టం/కనిష్టాన్ని కనుగొంటాము. f (x) = 0 అయినప్పుడు గరిష్టం/కనిష్టం ఏర్పడుతుంది. f (a) = 0 మరియు f (a) 0 అయితే x = a గరిష్టం; f (a) = 0 మరియు f (a) = 0 అనే పాయింట్‌ను ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ అంటారు.
ఒక క్లిష్టమైన పాయింట్ జీను పాయింట్ అని మీకు ఎలా తెలుస్తుంది?
D<0 అయితే, పాయింట్ (a,b) జీను పాయింట్. D=0 అయితే, పాయింట్ (a,b) సాపేక్ష కనిష్టం, సాపేక్ష గరిష్టం లేదా జీను బిందువు కావచ్చు. క్లిష్టమైన పాయింట్‌ను వర్గీకరించడానికి ఇతర సాంకేతికతలను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది.
మీరు సాపేక్ష గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని ఎలా కనుగొంటారు?
f(x) ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, క్లిష్టమైన సంఖ్యలను కనుగొనండి. అప్పుడు, f(x) ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, క్లిష్టమైన సంఖ్యలను ఉంచండి. విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటే, ఆ సమయంలో ఫంక్షన్ సాపేక్ష గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది, విలువ సానుకూలంగా ఉంటే, ఆ సమయంలో ఫంక్షన్ సాపేక్ష గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.